Mécanique express.      

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En mécanique, il est très important de représenter graphiquement les différentes forces en présence afin de déterminer ce qui va se passer.

Les forces se représentent par des vecteurs. On utilise comme notation la lettre qui représente la force surmontée par une flèche ou bien comme ici la lettre en caractère gras.

- un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur appelée module.

- le module de A est A = |A|.

- deux vecteurs de même direction mais de sens opposés sont de signes contraires : A = -B.

- pour faire la somme de deux vecteurs, on trace un vecteur qui est leur somme géométrique.

- le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur dont le sens et la direction sont données par la règle du tire-bouchon ou des trois doigts (= ils sont orthogonaux).

les vecteurs font un angle droit deux à deux   Le vecteur résultant est orienté vers le haut car A vient vers nous, si A rentrait, C serait orienté vers le bas.
On note A L B = AB sin J j         avec j vecteur unitaire de même sens.
Le module est AB sin J.

- dans un repère orthonormé, de vecteurs unitaires i, j, k, le vecteur A s'écrit :      A = xi + yj + zk    et    A = ( x² + y² + z² ) ^1/2

Sur la terre, tout objet est soumis à une force d'attraction dirigée vers le centre de notre planète.

Cette force dite de pesanteur est caractérisée par son accélération g.
Sous notre latitude et au niveau de la mer g = 9.81 m.s^-2 .

Tout objet de masse  m en kg, aura sur la terre un poids P en newton      ( N = kg/m.s^-2  ).
Ce poids est la force qui attire l'objet vers le centre de la terre.

P = m . g

  vitesse et accélération.

Un objet peut être modélisé par un point qui représente sa position dans l'espace.

Lorsqu'il est en mouvement, les coordonnées de ce point P dans un même référentiel ( on choisit un repère d'espace, de temps ) vont changer.

L'objet aura une certaine vitesse v et éventuellement son mouvement connaîtra une certaine accélération a
( sa vitesse passe de la valeur initiale v₀ à v_x en un temps donné , si a = 0 alors v = const.).

- Soit m = m(t) le vecteur position du point P au temps t, la vitesse de ce point est :
 ,
                           v = dm/dt       en m.s^-1

              m = xi + yj + zk = dx/dt. i + dy/dt. .j + dz/dt. k 
              v = |v|  =   [ ( dx/dt) ²+ ( dy/dt ) ²  + ( dz/dt ) ² ] ^1/2        

- l'accélération  du point P est :

a = dv/dt     en m.s^-2

a = |a| =   [ ( dx²/dt²) ²+ ( dy²/dt² ) ²   + ( dz²/dt² ) ² ] ^1/2

nb. les caractères en gras sont les vecteurs ( pas de flèche en HTML désolée) les coordonnées du point P sont x, y, z dans le repère i, j, k. )

  Énergie cinétique.

Un objet possède de l'énergie du fait du mouvement qui l'anime.

Cette énergie s'appelle énergie cinétique et se note Ec :

Ec = 1/2 m.v²

  Énergie potentielle.

Un objet possède de l'énergie du fait de sa hauteur h par rapport au point 0 du repère.

Cette énergie s'appelle énergie potentielle et se note Ep :

Ep =  m.g.h

  Énergie mécanique.

L'énergie mécanique E est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

La loi de conservation de l'énergie donne

E = Ec + Ep = const.
si le système ne subit pas de forces de frottement.

  Le ressort.

Soit un ressort auquel on suspend un solide, lorsqu'on l'écarte de sa position initiale x0 jusqu'à la position x, ce solide subit une force de rappel F :

F = - k.x

où k est la constante de raideur du ressort en N.m^-1

  Le pendule simple.

Il s'agit d'un solide de masse m suspendu à un fil de longueur l que l'on écarte de sa position d'équilibre d'un angle Ø0,

Ø =  Ø0. cos wt

w² = g/l  la pulsation 
T = 2 p ( l/g)^1/2 la période

E = 1/2 mv² + mgh = constante, en négligeant l'amortissement .

  Les oscillations mécaniques.

Soit un solide dont le mouvement se fait le long d'un axe. La position du solide peut évoluer selon une fonction sinusoïdale, on parle d'oscillateur harmonique animé d'un mouvement sinusoïdal.

Si x est la position du solide écarté de la position x0, l'équation s'écrit:

x = x0. cos wt  
avec la pulsation w = ( k/m)^1/2 en rad.s^-1             
et l'amplitude x0

la vitesse est la dérivée soit :   v = - x0. w sin wt  m.s^-1
l'accélération est :   a = - w² x0. cos wt   m.s^-2

Ce mouvement à pour période: T = 2 p/w   en s, c'est la durée d'une oscillation complète.

et sa fréquence est donc f = 1/T  en hertz, nombre d'oscillation par unité de temps.

L'énergie totale d'un oscillateur harmonique non amorti s'écrit :

                              E = 1/2 mv² + 1/2 kx²

 

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